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中考几何综合

来源:未知 时间:2019-10-02 12:29

  中考几何综合_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专 题 突 破 (九) __________________________________ [几何综合] 在北京中考试卷中,几何综合题通常出现在后两题,分值为 8 分或 7 分.几何综合题主 要包

  专 题 突 破 (九) __________________________________ [几何综合] 在北京中考试卷中,几何综合题通常出现在后两题,分值为 8 分或 7 分.几何综合题主 要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识,主要研究图形中的数量关 系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律. 求解几何综合题时,关键是抓住“基本图形”,能在复杂的几何图形中辨认、分解出基 本图形,或通过添加辅助线补全、构造基本图形,或运用图形变换的思想将分散的条件集中 起来,从而产生基本图形,再根据基本图形的性质,合理运用方程、三角函数的运算等进行 推理与计算. 年份 考点 2012-2016 年北京中考知识点对比 2012 2013 2014 2015 旋转变换、对 称变换、构造 全等三角形 全等三角形 的判定与性 质、等边三角 形的性质、等 腰直角三角 形旋转的性 质 以轴对称和 正方形为载 体,考查了等 腰三角形、全 等三角形、勾 股定理、圆及 圆周角定理 以正方形为 载体,考查了 平移作图,利 用轴对称图 形的性质证 明线段相等 及写出求线 以等边三角 形为载体考 查等腰三角 形、全等三角 形相关知识 1.[2016·北京] 在等边△ABC 中, (1)如图 Z9-1,P,Q 是 BC 边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB 的度数; (2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B,C 重合),点 P 在点 Q 的左侧,且 AP=AQ, 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM. ①依题意将图②补全; ②小茹通过观察、实验提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PA=PM.小茹把这 个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法 1:要证明 PA=PM,只需证△APM 是等边三角形. 想法 2:在 BA 上取一点 N,使得 BN=BP,要证 PA=PM,只需证△ANP≌△PCM 想法 3:将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到线段 BK,要证 PA=PM,只需证 PA= CK,PM=CK. …… 请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM.(一种方法即可) 图 Z9-1 2.[2015·北京] 在正方形 ABCD 中,BD 是一条对角线,点 P 在射线 CD 上(与点 C,D 不重合),连接 AP,香港开码现场直播开奖结果查询。平移△ADP,使点 D 移动到点 C,得到△BCQ,过点 Q 作 QH⊥BD 于点 H, 连接 AH,PH. (1)若点 P 在线段 CD 上,如图 Z9-2①. ①依题意补全图①; ②判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系,并加以证明. (2)若点 P 在线段 CD 的延长线°,正方形 ABCD 的边长为 1,请写出 求 DP 长的思路.(可.以.不.写.出.计.算.结.果.) 图 Z9-2 3.[2014·北京] 在正方形 ABCD 外侧作直线 AP,点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,连接 BE,DE,其中 DE 交直线 AP 于点 F. (1)依题意补全图 Z9-3①; (2)若∠PAB=20°,求∠ADF 的度数; (3)如图②,若 45°∠PAB90°,用等式表示线段 AB,FE,FD 之间的数量关系,并证 明. 图 Z9-3 1.[2016·海淀一模] 在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 在射线 BC 上(与 B、C 两点不重合),以 AD 为边作正方形 ADEF,使点 E 与点 B 在直线 AD 的异侧,射线 BA 与射线 CF 相交于点 G. (1)若点 D 在线段 BC 上,如图 Z9-4①. ①依题意补全图①; ②判断 BC 与 CG 的数量关系与位置关系,并加以证明; (2)若点 D 在线段 BC 的延长线上,且 G 为 CF 中点,连接 GE,AB= 2,则 GE 的长为 ________,并简述求 GE 长的思路. 图 Z9-4 2.[2016·朝阳一模] 在等腰三角形 ABC 中,AC=BC,点 P 为 BC 边上一点(不与 B,C 重合),连接 PA,以 P 为旋转中心,将线段 PA 顺时针旋转,旋转角与∠C 相等,得到线段 PD,连接 DB. (1)当∠C=90°时,请你在图 Z9-5①中补全图形,并直接写出∠DBA 的度数; (2)如图②,若∠C=α ,求∠DBA 的度数(用含α 的代数式表示); (3)连接 AD,若∠C=30°,AC=2,∠APC=135°,请写出求 AD 长的思路.(可以不写 出计算结果) 图 Z9-5 3.[2016·东城一模] 如图 Z9-6,等边△ABC,其边长为 1,D 是 BC 中点,点 E,F 分 别位于 AB,AC 边上,且∠EDF=120°. (1)直接写出 DE 与 DF 的数量关系; (2)若 BE,DE,CF 能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数;(要求:写出 思路,画出图形,直接给出结果即可) (3)思考:AE+AF 的长是否为定值?如果是,请求出该值,如果不是,请说明理由. 图 Z9-6 4.[2016·西城一模] 在正方形 ABCD 中,点 P 是射线 CB 上一个动点,连接 PA,PD, 点 M,N 分别为 BC,AP 的中点,连接 MN 交 PD 于点 Q. (1)如图 Z9-7①,当点 P 与点 B 重合时,△QPM 的形状是________; (2)当点 P 在线段 CB 的延长线上时,如图②. ①依题意补全图②; ②判断△QPM 的形状,并加以证明; (3)点 P′与点 P 关于直线 AB 对称,且点 P′在线段 BC 上,连接 AP′,若点 Q 恰好在 直线 AP′上,正方形 ABCD 的边长为 2,请写出求此时 BP 长的思路.(可以不写出计算结果) 图 Z9-7 5.[2016·海淀二模] 已知:AB=BC,∠ABC=90°.将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转α (0° α 90°)得到线段 AD.点 C 关于直线 BD 的对称点为 E,连接 AE,CE. (1)如图 Z9-8, ①补全图形; ②求∠AEC 的度数; (2)若 AE= 2,CE= 3-1,请写出求α 度数的思路.(可.以.不.写.出.计.算.结.果.) 图 Z9-8 6.[2016·西城二模] 在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°.点 P 为直线 AB 上一个动点(点 P 不与点 A,B 重合),连接 PC,点 D 在直线 BC 上,且 PD=PC.过点 P 作 EP⊥PC 于点 P,点 D,E 在直线 AC 的同侧,且 PE=PC,连接 BE. (1)情况一:当点 P 在线段 AB 上时,图形如图 Z9-9①所示; 情况二:如图②,当点 P 在 BA 的延长线上,且 APAB 时,请依题意补全图②; (2)请从问题(1)的两种情况中,任选一种情况,完成下列问题: ①求证:∠ACP=∠DPB; ②用等式表示线段 BC,BP,BE 之间的数量关系,并证明. 图 Z9-9 专题突破(九) 几何综合 北京线)∵AP=AQ, ∴∠APQ=∠AQP, ∴∠APB=∠AQC. 又∵∠B=∠C=60°, ∴∠BAP=∠CAQ=20°, ∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=60°-20°-20°=20°, ∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°. 又∵∠B=60°, ∴∠AQB=180°-∠B-∠BAQ=80°. (2)①如图; ②利用想法 1.证明:连接 AQ,首先应该证明△APB≌△AQC, 得到∠BAP=∠CAQ,然后由∠CAQ=∠CAM 得到∠CAM=∠BAP,进而得到∠PAM=60°; 接着利用∠MCA=∠QCA=∠PBA=60°, AB=AC, ∠CAM=∠BAP, 得到△APB≌△AMC, 从而得到 AP=AM,进而得到 PA=PM.(利用其他想法证明也可以) 2.解:(1)①如图①所示. ②AH=PH,AH⊥PH. 证明:连接 CH, 由条件易得:△DHQ 为等腰直角三角形, 又∵DP=CQ,∴△HDP≌△HQC, ∴PH=CH,∠HPC=∠HCP. ∵BD 为正方形 ABCD 的对称轴, ∴AH=CH,∠DAH=∠HCP, ∴AH=PH,∠DAH=∠HPC, ∴∠AHP=180°-∠ADP=90°, ∴AH=PH 且 AH⊥PH. (2)如图②, 过点 H 作 HR⊥PC 于点 R, ∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°, ∴∠DAH=17°,∴∠DCH=17°. 设 DP=x,则 DR=HR=RQ=1-2 x. 1-x 由 tan17°=CHRR得1+2 x=tan17°, 2 1-tan17° ∴x=1+tan17°. 3.解:(1)补全图形如图①所示: (2)如图①,连接 AE, 则∠PAB=∠PAE=20°,AE=AB. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠EAD=130°,AE=AD.∴∠ADF=25°. (3)如图②,连接 AE,BF,BD. 由轴对称的性质可得 EF=BF,AE=AB=AD,∠ABF=∠AEF=∠ADF, ∴∠BFD=∠BAD=90°. ∴BF2+FD2=BD2. ∴EF2+FD2=2AB2. 北京专题训练 1.解:(1)①补全图形,如图①所示. ②BC 和 CG 的数量关系:BC=CG,位置关系:BC⊥CG. 证明:如图①. ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠B=∠ACB=45°,∠1+∠2=90°. ∵射线 BA,CF 的延长线相交于点 G, ∴∠CAG=∠BAC=90°. ∵四边形 ADEF 为正方形, ∴∠DAF=∠2+∠3=90°,AD=AF. ∴∠1=∠3. ∴△ABD≌△ACF. ∴∠B=∠ACF=45°. ∴∠B=∠G=45°,∠BCG=90°. ∴BC=CG,BC⊥CG. (2) 10 思路如下: a.由 G 为 CF 中点画出图形,如图②所示. b.与②同理,可得 BD=CF,BC=CG,BC⊥CG; c.由 AB= 2,G 为 CF 中点,可得 BC=CG=FG=CD=2; d.过点 A 作 AM⊥BD 于点 M,过点 E 作 EN⊥FG 于点 N,可证△AMD≌△FNE,可得 AM= FN=1,NE 为 FG 的垂直平分线,FE=EG; e.在 Rt△AMD 中,AM=1,MD=3,可得 AD= 10,即 GE=FE=AD= 10. 2.解:(1)如图,补全图①. ∠DBA=90°. (2)如图②,过点 P 作 PE∥AC 交 AB 于点 E. ∴∠PEB=∠CAB. ∵AC=BC,∴∠CBA=∠CAB. ∴∠PEB=∠PBE.∴PB=PE. 又∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α , ∴∠BPD=∠EPA. ∵PA=PD,∴△PDB≌△PAE. ∵∠PBA=∠PEB=12(180°-α )=90°-12α , 1 ∴∠PBD=∠PEA=180°-∠PEB=90°+2α . ∴∠DBA=∠PBD-∠PBA=α . (3)求解思路如下: a.如图③,作 AH⊥BC 于点 H; b.由∠C=30°,AC=2,可得 AH=1,CH= 3,BH=2- 3, 勾股定理可求 AB; c.由∠APC=135°,可得∠APH=45°,AP= 2; d.由∠APD=∠C=30°,AC=BC,AP=DP, 可得△PAD∽△CAB,由相似比可求 AD 的长. 3.解:(1)相等. (2)思路:如图①,延长 FD 至 G,使得 GD=DF,连接 GE,GB. 证明△FCD≌△GBD,△GED 为等边三角形, ∴△BEG 为所求三角形. 最大角为∠GBE=120°. (3)如图②,过 D 作 DM,DN 分别垂直 AB,AC 于点 M,N. ∴∠DMB=∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°. 又∵DB=DC,∠B=∠C, ∴△DBM≌△DCN.∴DM=DN. ∵∠A=60°,∠EDF=120°, ∴∠AED+∠AFD=180°. ∴∠MED=∠AFD. ∴△DEM≌△DFN.∴ME=NF. 333 ∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN=4+4=2. 4.解:(1)等腰直角三角形 (2)①补全图形,如图①所示. ②△QPM 的形状是等腰三角形. 证明:延长 BC 至 E,使 CE=BP,连接 AE. 如图②, ∵PB=CE,∴PB+BC=CE+BC,即 CP=BE. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=DC, ∠ABC=∠DCB=90°. ??DC=AB, 在△DCP 和△ABE 中,?∠DCP=∠ABE, ??CP=BE, ∴△DCP≌△ABE. ∴∠1=∠E. ∴M 为 PE 的中点.∵MB=MC. ∴MB+BP=MC+CE.即 MP=ME. ∴M 为 PE 的中点,∵N 为 AP 的中点, ∴NM∥AE.∴∠2=∠E. ∴∠1=∠2,∴QP=QM. ∴△QPM 是等腰三角形. (3)求解思路如下: a.由题意画出图形,并延长 BC 至 E,使 CE=BP,连接 AE,如图③. b.由(2)可得 QM∥AE,可证P′ QAQ=PM′EM; c.由 PP′∥AD,可证△P′PQ∽△ADQ, P′Q P′P 从而 QA = AD ; d.可得PM′EM=P′ ADP; e.由点 P′与点 P 关于直线 AB 对称,得到 BP′=BP=CE,设 BP′=BP=CE=x, 由 AD=BC=2,可分别表示 P′M,ME,P′P,可求 BP 的长. 5.解:(1)①补全图形,如图①所示. ②连接 BE. ∵AB=BC,E,C 关于直线 BD 对称,∴AB=BC=BE. ∴∠C=∠BEC,∠BAE=∠BEA. ∵∠ABC=90°, ∴∠BAE+∠AEC+∠C=270°. ∴∠AEC=135°. (2)求解思路如下: a.连接 AC,过点 A 作 AF⊥CE,交 CE 延长线于点 F,如图②所示; b.由(1)可求∠AEC=135°,由 AE= 2可求 AF=EF=1; c.由 CE= 3-1,可求 AC=2,AB=BC= 2,可证△ABE 为等边三角形; d.由 C,E 两点关于直线 BD 对称,AB=AD,可求∠EBD=15°,∠ABD=75°,α =30°. 6.解:(1)补全图形如图①所示; (2)情况一:①证明:如图②. ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠ACB=45°. ∵PD=PC, ∴∠D=∠1. ∵∠ACB=∠1+∠2=45°, ∠ABC=∠D+∠3=45°, ∴∠2=∠3.即∠ACP=∠DPB. ②结论:BC= 2BP+BE. 证明:过点 P 作 PF⊥PB 交直线 BC 于点 F, 如图③.∵PF⊥PB 交直线 BC 于点 F, ∴∠BPF=90°. ∵EP⊥PC, ∴∠EPC=90°. ∴∠BPF=∠EPC. ∴∠4+∠5=∠6+∠5.∴∠4=∠6. ∵∠PBF=45°, ∴∠PBF=∠PFB=45°. ∴PB=PF. 在△PBE 和△PFC 中, ??PB=PF, ?∠4=∠6, ??PE=PC, ∴△PBE≌△PFC. ∴BE=FC. ∵在 Rt△PBF 中,BF= BP2+FP2= 2BP, ∴BC=BF+FC= 2BP+BE. (说明:情况二中②BC= 2BP-BE.)

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